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TS : TEMPS ET RELATIVITÉ RESTREINTE

mardi 25 février 2020, par Oscillo&Becher

TEMPS ET RELATIVITÉ RESTREINTE

TEMPS ET RELATIVITÉ RESTREINTE

1 RELATIVITÉ RESTREINTE, INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE, CONSÉQUENCE SUR LE TEMPS

Dans l'une des expériences décrites dans la vidéo précédente (voir aussi schéma suivant), On utilise la réflexion d’une impulsion lumineuse sur un miroir, l’ensemble miroir-source-récepteur étant mobile à vitesse \(\overrightarrow{v}\) constante par rapport à un référentiel galiléen.

On regarde l’expérience

  • du point de vue d’un observateur lié à l’ensemble miroir-source-récepteur (ici l'intérieur du wagon où a lieu l'expérience : le référentiel propre, à gauche dans le schéma suivant)
  • du point de vue d’un observateur du laboratoire (ici le quai de la gare, à droite dans le schéma suivant)

On considère les deux événements :

  • A : émission de l’impulsion lumineuse
  • et B : la réception de cette impulsion lumineuse après réflexion sur le miroir.

HorlogeLumiere.png

On établit la relation qui montre que le temps mesuré \(\Delta t\) (ou \(\Delta t_{m}\)) est toujours plus grand que le temps propre1 \(\Delta t_{o}\) :

\begin{align} \Delta t_{m} = \gamma \times \Delta t_{o} \end{align}

avec

\begin{align} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} \end{align}

Conséquence de l'invariance de la vitesse de la lumière C :

  • Dans le référentiel du laboratoire (ici, le quai de la gare, qui n'est pas le référentiel propre) la lumière parcourt une distance plus grande, la vitesse étant la même… il faut à nouveau plus de temps !.
  • La "dilatation des durées" s’impose donc d’elle même.

2 QUELQUES VALEURS DU COEFFICIENT DE DILATATION DU TEMPS \(\gamma\)

Le raisonnement précédent impose que la vitesse v soit plus petite que C, ainsi la vitesse de la lumière dans le vide apparaît comme une vitesse limite qu’un objet matériel (c'est à dire ayant une masse m) ne peut pas dépasser (Voir expérience de Bertozzi avec l'accélération des électrons).

ValeursGamma.png

Figure 2 : Quelques valeurs de \(\gamma\) pour des vitesses v très inférieures à C

Pour des mobiles à notre échelle, l'effet relativiste sera difficile à mesurer (\(\gamma\) est à peine supérieure à 1, d'où \(\Delta t_{m} \simeq \Delta t_{o}\))

Mais pour des particules beaucoup plus rapides …

GammaMuon.png

Figure 3 : Cas de particules très rapides, les muons de vitesse \(v = 0,993C\)

3 APPLICATION : EXTRAIT D'UN SUJET DE BAC 2016 "DES AURORES POLAIRES ET DES ÉLECTRONS "

3.1 Texte :

"C’est ainsi que juste avant la Seconde Guerre Mondiale, Georges Gamow, alors nouvellement installé aux États-Unis, se mit à rédiger d’une plume à la fois rigoureuse et alerte "Monsieur Tompkins au Pays des Merveilles", livre qui connut d’emblée le succès. Employé d’une grande banque, le héros de ces nouvelles assiste à des conférences du soir prononcées par un professeur de physique. La nuit venue, ses rêves le transportent dans des mondes peu ordinaires : les constantes fondamentales de la physique y sont modifiées de sorte que des phénomènes physiques habituellement cachés dans la vie courante deviennent manifestes."2

Dans le cas d'une particule dite relativiste, la question se pose de savoir comment sont modifiées les expressions des quantités déjà définies dans le cadre de la mécanique classique : quantité de mouvement, énergie cinétique… etc. En 1964, le chercheur du Massachusetts Institute of Technology, William Bertozzi a mesuré indépendamment l’énergie cinétique et la vitesse d’électrons très rapides. Il a ainsi réussi à illustrer expérimentalement la relation entre vitesse et énergie cinétique pour des particules relativistes.

3.1.1 Données3 :

  • Relation liant la durée propre \(\Delta t_{0}\) entre deux évènements et la durée mesurée \(\Delta t\) dans un référentiel en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport au référentiel propre :
\begin{align} \Delta t = \gamma \times \Delta t_{o} \end{align}

avec

\begin{align} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} \end{align}
  • 1,00 eV = \(1,6 \times 10^{-19}\) J
  • Masse d'un électron m = \(9,11 \times 10^{-31}\) kg

3.2 Effets relativistes

3.2.1 Dilatation du temps


  1. Lorsque les effets de la relativité restreinte se font sentir, on parle de "dilatation des durées". Montrer en quoi cette expression est appropriée.

    correction après réflexion


  2. On considère une particule dont la vitesse dans un référentiel terrestre est égale à 10 % de celle de la lumière. On mesure \(\Delta t\) = 1,0 ns. Estimer \(\Delta t_{0}\) Commenter.

    correction après réflexion


  3. L’extrait du livre d'Etienne Klein se termine par ce passage : "Les constantes fondamentales de la physique y sont modifiées de sorte que les phénomènes physiques habituellement cachés dans la vie courante deviennent manifestes". Que veut dire l'auteur ? Illustrer cela en envisageant que la constante C ait une valeur plus petite.

    correction après réflexion

3.3 Énergie cinétique et vitesse des électrons

Les graphes (a) et (b) ci-après représentent l'évolution du rapport \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) en fonction de l'énergie cinétique d'un électron dans le cas de la théorie classique et dans le cas de la théorie relativiste. Les échelles utilisées pour le graphe (b) permettent un agrandissement du graphe (a) au voisinage de l'origine.

GrapheaMeV.png

GraphebMeV.png


  1. Des deux représentations (1) et (2), identifier celle qui correspond à la théorie classique. Justifier en donnant deux arguments.

    correction après réflexion


  2. Montrer qu’à partir d’une valeur de la vitesse v égale à \(1,2 \times 10^{8}\) \(m.s^{-1}\), les électrons peuvent être considérés comme relativistes. On considèrera que les effets relativistes sont négligeables si l’écart relatif entre les valeurs de l’énergie cinétique selon les modèles classique et relativiste est inférieur à 10 %.

    correction après réflexion

3.4 Correction

3.5 Effets relativistes

3.5.1 Correction de la question 1 de la partie "Dilatation du temps"

On sait que \(\Delta t = \gamma \times \Delta t_{o}\) avec \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}\)

Si v est très inférieure à C, alors, \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0}}\) = 1 : le temps mesuré dans les deux référentiels est identique, il n’y a pas dilatation des durées.

Plus v se rapproche de la vitesse de la lumière C, plus \(\gamma\) augmente. Alors la durée mesurée \(\Delta t\) est plus grande que celle \(\Delta t_{o}\) mesurée dans le référentiel propre, le temps est dilaté. Il s’écoule plus vite dans le référentiel impropre en mouvement rectiligne uniforme que dans le référentiel propre.

3.5.2 Correction de la question 2 de la partie "Dilatation du temps"

\(\Delta t = \gamma \times \Delta t_{o}\) avec \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}\)

On considère une particule dont la vitesse dans un référentiel terrestre est égale à 10 % de celle de la lumière, on a donc v = \(\frac{10}{100}.C\) = 0,10C.

\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,10C)^{2}}{C^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,01}}\)

\(\Delta t_{o} = \frac{\Delta t}{\gamma} = \Delta t \times \sqrt{1 - 0,01}\) = 1,0 ns \(\times \sqrt{1 - 0,01}\) = 0,99 ns.

ette valeur est très proche de Δt = 1,0 ns.

La dilatation des durées est peu marquée pour une particule de vitesse égale à 10 % de celle de la lumière.

3.5.3 Correction de la question 3 de la partie "Dilatation du temps"

Si C avait une valeur plus petite, alors le rapport \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) se rapprocherait plus facilement de 1, ainsi le coefficient de dilatation des durées \(\gamma\) atteindrait plus facilement une valeur très élevée. Le phénomène de dilatation des durées serait davantage perceptible.

3.5.4 Correction de la question 1 de la partie "Énergie cinétique et vitesse des électrons"

  • La courbe (2) a l’allure d’une droite passant par l’origine. Ainsi \(E_{c}\) et \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) sont reliées par une relation de proportionnalité. Rappelons la définition classique de l'énergie cinétique : \(E_{c} = \frac{1}{2}m.v^{2}\) avec m constante. Comme C est une constante, il est logique, pour la théorie classique, d'obtenir \(E_{c} = f(\frac{v^{2}}{C^{2}})\) sous forme de droite passant par l'origine, c'est donc le cas de la courbe 2.
  • Pour la courbe (1) on constate que le rapport \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) est inférieur à 1. Ainsi l’électron a toujours une vitesse v \(<\) c ; ce qui est en accord avec la théorie relativiste.
  • La courbe (2) montre que \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) peut être supérieur à 1, ce qui implique un électron plus rapide que la lumière ce qui contredit la théorie relativiste.

Conclusion :

  • courbe (1) théorie relativiste
  • courbe (2) théorie classique.

3.5.5 Correction de la question 2 de la partie "Énergie cinétique et vitesse des électrons"

Déterminons la valeur du rapport \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) avec v = \(1,2 \times 10^{8}\) \(m.s^{-1}\)

\(\frac{v^{2}}{C^{2}} = \frac{(1,2 \times 10^{8})^{2}}{(3 \times 10^{8})^{2}}\) = 0,16

On utilise le graphe (b) pour un rapport \(\frac{v^{2}}{C^{2}}\) = 0,16

GraphebMeVCor.png

Valeurs relevées des énergies cinétiques correspondant aux deux modèles représentés par les courbes (1) et (2) :

  • Modèle mécanique relativiste (courbe (1)) : \(E_{c1}\) = 0,040 MeV
  • Modèle mécanique classique (courbe (2)) : \(E_{c2}\) = 0,045 MeV

Écart relatif entre ces deux énergies : \(\frac{|E_{c2} - E_{c1}|}{E_{c1}} = \frac{|0,045 - 0,040|}{0,040}\) = 0,125 = 12,5 %

L’écart relatif entre les valeurs de l’énergie cinétique selon les modèles classique et relativiste est supérieur à 10 %, les électrons doivent être considérés comme relativites.

Notes de bas de page:

1

puisque \(\gamma\) est supérieure ou égal à 1

2

"Il était sept fois la révolution, Étienne Klein, Ed Flammarion 2005"

3

la valeur C de la vitesse de la lumière n’est pas donnée, elle doit être connue.

Created: 2020-02-26 mer. 10:00

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