TS : CINÉMATIQUE

1. CINÉMATIQUE : OBJECTIF ET VECTEURS IMPORTANTS}}

Cinématique : Dans un référentiel donné, comment caractériser le mouvement d’un mobile ?

Dans un référentiel choisi et présenté :

a. Vecteur position $\overrightarrow{OM}$

Dans le repère cartésien $(O ;\vec{i} ;\vec{j} ;\vec{k})$, le vecteur position est : $\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}+z.\vec{k}$

L’abscisse x, l’ordonnée y et la cote z sont les coordonnées du vecteur position dans le repère R cartésien orthonormé. Unité légale : le mètre.

Valeur OM du vecteur position $\overrightarrow{OM}$ : $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

b. Vecteur vitesse $\vec{v}$

Le vecteur vitesse $\vec{v}$ d’un point M est la dérivée par rapport au temps du vecteur position $\overrightarrow{OM}$ de ce point.

• On peut résumer : $\vec{v}={\displaystyle \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}}$ = $li{m}_{\Delta t\to 0}{\displaystyle \frac{\Delta \overrightarrow{OM}}{\Delta t}}$

  avec :

  • $\vec{v}$ : vitesse instantannée

  • $\overrightarrow{v_{moy}}$ = ${\displaystyle \frac{\Delta \overrightarrow{OM}}{\Delta t}}$ : vitesse moyenne ; "$\Delta$" représentant une grande variation et "d" une petite variation

  Dans un repère $(O ;\vec{i} ;\vec{j} ;\vec{k})$ : $\vec{v}={\displaystyle \frac{dx}{dt}}.\vec{i}+{\displaystyle \frac{dy}{dt}}.\vec{j}+{\displaystyle \frac{dz}{dt}}.\vec{k}$

  $\vec{v}$ :

  Direction : droite tangente à la trajectoire au point M
  Sens : celui du mouvement
  Point d’application : le point M
  Valeur v = $\mid \mid \vec{v}\mid \mid =\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ en $m.s^{-1}$

c. Vecteur accélération $\vec{a}$

Le vecteur accélération $\vec{a}$ d’un point M est le vecteur dérivé du vecteur vitesse $\vec{v}$ de ce point, par rapport au temps.

• On peut résumer : $\vec{a}={\displaystyle \frac{d\vec{v}}{dt}}={\displaystyle \frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d{t}^2}}$

  Dans un repère $(O ;\vec{i} ;\vec{j} ;\vec{k})$ : $\vec{a}={\displaystyle \frac{d{v}_x}{dt}}.\vec{i}+{\displaystyle \frac{d{v}_y}{dt}}.\vec{j}+{\displaystyle \frac{d{v}_z}{dt}}.\vec{k}$

  ou $\vec{a}={\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}.\vec{i}+{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}.\vec{j}+{\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{t}^2}}.\vec{k}$

  $\vec{a}$ :

  Direction : identique à celle du vecteur variation de vitesse $\overrightarrow{dv}$
  Sens : celui du vecteur variation de vitesse $\overrightarrow{dv}$
  Point d’application : le point M
  Valeur a = $\mid \mid \vec{a}\mid \mid =\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ en $m.s^{-2}$

d. Vecteur quantité de mouvement $\vec{p}$

Le vecteur quantité de mouvement $\vec{p}$ d’un point matériel est égal au produit de sa masse m par son vecteur vitesse $\vec{v}$

$\vec{p}=m.\vec{v}$

$\vec{p}$ :

Direction : Celle du vecteur vitesse $\vec{v}$
Sens : celui du mouvement
Point d’application : le point M
Valeur p = $\mid \mid \vec{p}\mid \mid$ = $m\times v$ en $kg.m.s^{-1}$

2. ANIMATIONS, APPLET ETC ... :

– Voir l’animation tirée de l’excellent livre interactif créé par par Isabelle Tarride et Jean Claude Desarnaud

– Tracé d’un vecteur vitesse (A Willm)

– Construire un vecteur vitesse (L. Germain)

– Construire un vecteur variation de vitesse (L. Germain)

– Méthode pour tracer le vecteur accélération instantanée.