TS : SATELLITES TERRESTRES

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• Système : satellite S de masse m

• Référentiel : géocentrique assimilable à un référentiel galiléen.

• Force en jeu : Force gravitationnelle $\vec{F}$ = $G\times {\displaystyle \frac{m\times M}{r^2}}\vec{N}$

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2ème loi de Newton :

$\Sigma \vec{f}={\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt}}$ ou, puisque m = cste, $\Sigma \vec{f}=m\vec{a}$

$G\times {\displaystyle \frac{M\times m}{r^2}}\vec{N}=m\vec{a}$ d’où $\vec{a}$ = $G\times {\displaystyle \frac{M}{r^2}}\vec{N}$

Or, pour un mouvement circulaire : $\vec{a}={\displaystyle \frac{dv}{dt}}\vec{T}+{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\vec{N}$

On a donc :

• ${\displaystyle \frac{dv}{dt}}$ = 0 : Mouvement circulaire uniforme

• $G\times {\displaystyle \frac{M}{r^2}}$ = ${\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

d’où, l’expression de la valeur cste v de la vitesse :

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$ (1)

Expression de la vitesse d’un satellite terrestre S (altitude h) :

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{R+h}}}$

avec :

• M : Masse de la Terre en kg (M = $5.98\times {10}^{24}$ kg)

• R : Rayon de la Terre en m (R = $6.4\times {10}^3$ km = $6.4\times {10}^6$ m)

• h : altitude du satellite en m

Période T de révolution

Période T de révolution : Lien avec v ?

$v={\displaystyle \frac{2\pi \times r}{T}}$ d’où : Expression de T ?

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}=2\pi r\times \sqrt{{\displaystyle \frac{r}{GM}}}$

T = $2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{GM}}}$ (2)

T = $2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(R+h{)}^3}{GM}}}$

Cas d’un satellite géostationnaire :

Sa période T de révolution doit s’identifier à un jour (jour sidéral (ou stellaire) soit 86164 s)

T = $2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(R+h{)}^3}{GM}}}$ d’où $T^2=4{\pi }^2\times {\displaystyle \frac{(R+h{)}^3}{GM}}$

$(R+h{)}^3={\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$ d’où $(R+h)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

AN : $(R+h)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6.67\times {10}^{-11}\times 5.98\times {10}^{24}\times {86164}^2}{4{\pi }^2}}}=4.22\times {10}^7$ m

$(R+h)=4.22\times {10}^4$ km d’où h = 42200 - 6380 = 35800 km soit environ 36000 km

Caractéristiques de deux satellites terrestres utilisés dans les télécommunications

L’inclinaison, dans le tableau, est celle par rapport au plan de l’équateur

Satellite terrestre	Intelsat 802	Iridium 72
Altitude	35 785,9 km	783,3 km
Vitesse	3,074 $km.s^{-1}$	7,466 $km.s^{-1}$
Période orbitale	23 h 56 min 6 s	1 h 40 min 24 s
Inclinaison	0°	86°

La surface de la Terre accomplit un tour autour de l’axe polaire en 23 h 56 min et 4 s.

1. Vérifier qu’un des deux satellites mentionnés (INTELSAT ou IRIDIUM) est géostationnaire.

2. Sachant que le rayon de la Terre est R = 6 370 km, quel est le rayon r de la trajectoire du satellite INTELSAT 802 ? Exprimer alors sa vitesse orbitale v en fonction de r et de sa période orbitale T. Vérifier la valeur donnée dans le tableau ?

3. Serait-il possible d’évaluer la masse M de la Terre grâce aux uniques informations du tableau précédent ? Si oui, comment ?

4. Un des deux satellites possède une orbite qui passe pratiquement au-dessus des pôles terrestres. Lequel ?

5. Quelle force permet à un satellite de tourner autour de la Terre ?

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