• « Tous les corps gravitent vers chaque planète, et sur la même planète, leurs poids, à égale distance du centre, sont proportionnels à la quantité de matière que chacun d’eux [corps et planète] contient »

• Deux sphères … s’attirent réciproquement avec des forces qui sont en raison renversée ² du carré des distances de leurs centres.« 

1. Montrons la cohérence de ces extraits 1 et 2 avec les extraits rappelés en introduction : Quels sont les deux paramètres cités ?

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 1

La Terre est représentée par le point T et la Lune par le point L.

• Masse de la Terre \(M_{T}\) = \(5,97 \times 10^{24}\) kg
• Masse de la Lune \(M_{L}\) = \(7,35 \times 10^{22}\) kg
• Distance entre T et L : d = \(3,84 \times 10^{5}\) km
• Échelle du vecteur force : 1 cm représente \(1,0 \times 10^{20}\) N

3. Calculer la valeur \(F_{Terre/Lune}\) de la force \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\).

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 3

4. • La force \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) est-elle représentée par \(\overrightarrow{F_{1}}\) ou \(\overrightarrow{F_{2}}\) ?
   • La force \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) est-elle représentée par \(\overrightarrow{F_{1}}\) ou \(\overrightarrow{F_{2}}\) ?

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 4

Isaac Newton énonce aussi un des grands principes de la physique appelé « principe des actions réciproques » ou « principe de l’action et réaction »

Newton étend ce principe aussi bien à des actions de contact qu’à des actions à distance.

5. Pourquoi peut-on dire, en comparant \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) et \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\), que l’interaction gravitationnelle Terre-Lune est une illustration du principe des actions réciproques ?

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 5

Si, dans la représentation de la question 4, sur la droite (TL), on plaçait un vecteur unitaire ³ \(\overrightarrow{u_{1}}\) dirigé dans le sens de L vers T (voir schéma précédent), on pourrait écrire :

Si, dans la représentation de la question 4, sur la droite (TL), on plaçait un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_{2}}\) dirigé dans le sens de T vers L (voir schéma précédent), on pourrait écrire :

6. Quelle est l’expression correcte si on veut \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) en fonction de \(\overrightarrow{u_{1}}\) ? (Aide : Bas de page 198)

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 6

Lien de l’animation « Gravité et orbites » Menu « À l’échelle »

• Choisir l’interaction Terre-Lune

7. La période sidérale \(T_{Lune}\) est l’intervalle de temps qui s’écoule en moyenne entre deux passages de la Lune dans une même direction par rapport aux étoiles. Évaluer la période sidérale de la Lune.

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 7

8. Quand la Lune est dans son mouvement autour de la Terre, mettre l’animation au ralenti (menu de gauche en bas) puis supprimer brutalement la gravité. Définir alors le mouvement de la Lune.

Prendre le temps de la réflexion puis … Correction de la question 8

• Visualualiser, jusqu’à 1’14, le début de la vidéo « La Gravitation sur le site du CEA »
• « Canon de Newton » pour revenir sur l’influence de la vitesse INITIALE d’un corps lors de sa chute.

Les deux paramètres cités sont

• les masses \(m_{a}\) et \(m_{B}\) des deux corps A et B en présence.
• la distance d entre les centres de gravité de A et B.

Dans l’expression \(F_{A/B} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}\)

On retrouve

• pour deux corps A et B :
  • les masses \(m_{A}\) et \(m_{B}\) exprimées en kg, au numérateur de l’expression (1) : la valeur de la force gravitationnelle \(F_{A/B}\) (= \(F_{B/A}\)) est bien proportionnelle aux masses \(m_{A}\) et \(m_{B}\).
  • la distance d (exprimée en m) entre les centres de gravité \(G_{A}\) et \(G_{B}\) de A et B, avec \(d^{2}\) au dénominateur de l’expression (1) : la valeur de la force gravitationnelle \(F_{A/B}\) (= \(F_{B/A}\)) est bien inversement proportionnelle au carré de la distance d entre les centres de gravité de A et B.

\(F_{Terre/Lune} = F_{Lune/Terre} = G \times \frac{M_{T} \times M_{L}}{d^{2}}\)

• Masse de la Terre \(M_{T}\) = \(5,97 \times 10^{24}\) kg
• Masse de la Lune \(M_{L}\) = \(7,35 \times 10^{22}\) kg
• Distance entre T et L : d = \(3,84 \times 10^{5}\) km = \(3,84 \times 10^{8}\) m. Ne pas oublier de convertir d en mètres !

\(F_{Terre/Lune} = F_{Lune/Terre} = 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{5,97 \times 10^{24} \times 7,35 \times 10^{22}}{(3,84 \times 10^{8})^{2}}\) = \(1,98 \times 10^{20}\) N.

• La force \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) est représentée par \(\overrightarrow{F_{2}}\).
• La force \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) est-elle représentée par \(\overrightarrow{F_{1}}\).

• Nous constatons que la valeur de la force de gravitation

\(F_{Terre/Lune}\) (\(= F_{Lune/Terre}\)) est très proche de \(2,0 \times 10^{20}\) N.

• L’échelle proposée est 1 cm pour \(1,0 \times 10^{20}\) N
• Les vecteurs-forces auront donc une longueur de 2 cm pour représenter \(2,0 \times 10^{20}\) N

On a \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) = - \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\), ce qui illustre le principe des actions réciproques :

Les forces \(\overrightarrow{F_{Terre/Lune}}\) et \(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}}\) ont :

• même direction
• sens contraires
• même valeur

NB : Il s’agit ici d’une interaction à distance

\(\overrightarrow{F_{Lune/Terre}} = G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{2}} = - G.\frac{m_{A}.m_{B}}{d^{2}}. \overrightarrow{u_{1}}\)

• La période sidérale de la Lune est égale à environ 28 jours terrestres soit un mois.

  • Plus précisément : 27,32 jours. (source : http://craq-astro.ca/phy1971/chap9/chap9b.html)

Animation Geogebra :

https://www.geogebra.org/m/VxsApSr3

• Quand, dans l’animation, la Lune étant dans son mouvement autour de la Terre, on supprime brutalement la gravité alors la Lune prend un mouvement rectiligne uniforme.
• Ce résultat, si on annule effectivement toute source de force de gravitation (pas seulement celle exercée par la Terre …) est une illustration du principe d’inertie ou première loi de Newton :

NB : Le principe ne vaut que pour des observateurs placés dans un référentiel approprié (« référentiel galiléen »).